Determine as raizes de cada uma das funçoes a seguir :
a) f(x)= x² -6x + 5
b) f(x)= 4x² -4x + 1
c) f(x)= x² -4x +5
d) f(x)= -2x +4
e) f(x)= 3x² +6x
(Com resolução por favor)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes de várias funções. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre funções quadráticas e lineares. Para achar as raízes, vamos usar métodos como fatoração, a fórmula de Bhaskara e análise gráfica. Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar com a letra a): $ f(x) = x^2 - 6x + 5 $.
Primeiro, precisamos entender que as raízes de uma função são os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Ou seja, vamos resolver a equação:
f(x) = x^2 - 6x + 5

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, podemos tentar fatorar o polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão +5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5, porque:
(-1) times (-5) = 5
(-1) + (-5) = -6
Então, podemos escrever:
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

Passo 4

Agora, igualamos cada fator a zero:
x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
x - 5 = 0 Rightarrow x = 5
Portanto, as raízes são $ x = 1 $ e $ x = 5 $.

Passo 5

Vamos para a letra b): $ f(x) = 4x^2 - 4x + 1 $.
Primeiro, igualamos a função a zero:
f(x) = 4x^2 - 4x + 1

Passo 6

Nesse caso, a fatoração não é tão evidente, então vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde $ a = 4 $, $ b = -4 $, e $ c = 1 $.

Passo 7

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta = 0 $, a equação tem uma raiz dupla.

Passo 8

Aplicando na fórmula:
x = 4 pm raiz08 = 48 = 0.5
Então, a única raiz é $ x = 0.5 $.

Passo 9

Agora, a letra c): $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $.
Igualamos a função a zero:
f(x) = x^2 - 4x + 5

Passo 10

Vamos calcular o discriminante:
De
Como $ \Delta < 0 $, não há raízes reais. As raízes são complexas.

Passo 11

Usando Bhaskara:
x = 4 pm raiz-42 = 4 pm 2i2 = 2 pm i
Portanto, as raízes são $ x = 2 + i $ e $ x = 2 - i $.

Passo 12

Vamos para a letra d): $ f(x) = -2x + 4 $.
Essa é uma função linear. Para encontrar a raiz, igualamos a função a zero:
f(x) = -2x + 4

Passo 13

Resolvendo para $ x $:
x
Então, a única raiz é $ x = 2 $.

Passo 14

Finalmente, a letra e): $ f(x) = 3x^2 + 6x $.
Igualamos a função a zero:
f(x) = 3x^2 + 6x

Passo 15

Podemos fatorar o polinômio:
3x(x + 2) = 0

Passo 16

Igualando cada fator a zero:
3x = 0 Rightarrow x = 0
x + 2 = 0 Rightarrow x = -2
Então, as raízes são $ x = 0 $ e $ x = -2 $.

Resposta

Resumindo, as raízes de cada função são:
a) $ x = 1 $ e $ x = 5 $
b) $ x = 0.5 $
c) $ x = 2 + i $ e $ x = 2 - i $
d) $ x = 2 $
e) $ x = 0 $ e $ x = -2 $

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