Determine as raizes de cada uma das funçoes a seguir :
a) f(x)= x² -6x + 5
b) f(x)= 4x² -4x + 1
c) f(x)= x² -4x +5
d) f(x)= -2x +4
e) f(x)= 3x² +6x
(Com resolução por favor)
a) f(x)= x² -6x + 5
b) f(x)= 4x² -4x + 1
c) f(x)= x² -4x +5
d) f(x)= -2x +4
e) f(x)= 3x² +6x
(Com resolução por favor)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes de várias funções. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre funções quadráticas e lineares. Para achar as raízes, vamos usar métodos como fatoração, a fórmula de Bhaskara e análise gráfica. Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar com a letra a): $ f(x) = x^2 - 6x + 5 $.
Primeiro, precisamos entender que as raízes de uma função são os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Ou seja, vamos resolver a equação:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, podemos tentar fatorar o polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão +5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5, porque:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, igualamos cada fator a zero:
Portanto, as raízes são $ x = 1 $ e $ x = 5 $.
Passo 5
Vamos para a letra b): $ f(x) = 4x^2 - 4x + 1 $.
Primeiro, igualamos a função a zero:
Passo 6
Nesse caso, a fatoração não é tão evidente, então vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 4 $, $ b = -4 $, e $ c = 1 $.
Passo 7
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta = 0 $, a equação tem uma raiz dupla.
Passo 8
Aplicando na fórmula:
Então, a única raiz é $ x = 0.5 $.
Passo 9
Agora, a letra c): $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $.
Igualamos a função a zero:
Passo 10
Vamos calcular o discriminante:
Como $ \Delta < 0 $, não há raízes reais. As raízes são complexas.
Passo 11
Usando Bhaskara:
Portanto, as raízes são $ x = 2 + i $ e $ x = 2 - i $.
Passo 12
Vamos para a letra d): $ f(x) = -2x + 4 $.
Essa é uma função linear. Para encontrar a raiz, igualamos a função a zero:
Passo 13
Resolvendo para $ x $:
Então, a única raiz é $ x = 2 $.
Passo 14
Finalmente, a letra e): $ f(x) = 3x^2 + 6x $.
Igualamos a função a zero:
Passo 15
Podemos fatorar o polinômio:
Passo 16
Igualando cada fator a zero:
Então, as raízes são $ x = 0 $ e $ x = -2 $.
Resposta
Resumindo, as raízes de cada função são:
a) $ x = 1 $ e $ x = 5 $
b) $ x = 0.5 $
c) $ x = 2 + i $ e $ x = 2 - i $
d) $ x = 2 $
e) $ x = 0 $ e $ x = -2 $