Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, fazer um esboço do gráfico e estudar o sinal da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é de funções quadráticas, que geralmente têm a forma
. Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar como encontrar raízes, vértice, analisar a concavidade da parábola, e entender como traçar o gráfico e estudar os intervalos onde a função é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
onde
. Isso significa resolver a equação:
Podemos fatorar
da equação:
Então, as soluções são
e
, que dá
. Portanto, as raízes são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice de uma função quadrática
tem coordenadas:
No nosso caso,
e
. Calculando
:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, as coordenadas do vértice são
.
Passo 4
Para encontrar a imagem da função, precisamos determinar o valor máximo ou mínimo que a função atinge. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola é voltada para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto de máximo. Portanto, a imagem da função é o valor do vértice na coordenada
:
Passo 5
Agora, vamos fazer um esboço do gráfico da função. Sabemos que é uma parábola voltada para baixo, com vértice em
e raízes em
e
. Vamos plotar esses pontos e desenhar a parábola que passa por eles, abrindo para baixo.
Passo 6
Por último, vamos estudar o sinal da função
. As raízes são
e
, então esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Vamos testar um número em cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a função é negativa nos intervalos
e
, e positiva entre
.
Resposta
As raízes da função são
e
. O vértice está no ponto
, com a imagem máxima igual a 4. O gráfico é uma parábola voltada para baixo, interceptando o eixo
nos pontos
e
e atingindo o ponto mais alto em
. A função é positiva entre
e negativa para
e
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e faça o estudo de sinal das funções de
grau:
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos
e
nos seguintes casos:
Resolva as inequações do
grau.
Determine o domínio das seguintes funções:
Resp: