Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, fazer um esboço do gráfico e estudar o sinal da função . O conteúdo que vamos usar aqui é de funções quadráticas, que geralmente têm a forma . Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar como encontrar raízes, vértice, analisar a concavidade da parábola, e entender como traçar o gráfico e estudar os intervalos onde a função é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de onde . Isso significa resolver a equação:
Podemos fatorar da equação:
Então, as soluções são e , que dá . Portanto, as raízes são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice de uma função quadrática tem coordenadas:
No nosso caso, e . Calculando :
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, as coordenadas do vértice são .

Passo 4

Para encontrar a imagem da função, precisamos determinar o valor máximo ou mínimo que a função atinge. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola é voltada para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto de máximo. Portanto, a imagem da função é o valor do vértice na coordenada :

Passo 5

Agora, vamos fazer um esboço do gráfico da função. Sabemos que é uma parábola voltada para baixo, com vértice em e raízes em e . Vamos plotar esses pontos e desenhar a parábola que passa por eles, abrindo para baixo.

Passo 6

Por último, vamos estudar o sinal da função . As raízes são e , então esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Vamos testar um número em cada intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a função é negativa nos intervalos e , e positiva entre .

Resposta

As raízes da função são e . O vértice está no ponto , com a imagem máxima igual a 4. O gráfico é uma parábola voltada para baixo, interceptando o eixo nos pontos e e atingindo o ponto mais alto em . A função é positiva entre e negativa para e .

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Esboce o gráfico e faça o estudo de sinal das funções de grau:
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e nos seguintes casos:
Resolva as inequações do grau.
Determine o domínio das seguintes funções: Resp: