Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente analisar a função quadrática . Vamos precisar descobrir as raízes dessa função, encontrar as coordenadas do vértice, determinar a imagem, fazer um esboço do gráfico e fazer o estudo de sinal. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de equações do segundo grau, como achar as raízes, calcular o vértice da parábola e entender como o gráfico se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função. As raízes são os valores de que fazem . Ou seja, precisamos resolver a equação:
Para resolver essa equação, podemos fatorar o polinômio:
Assim, as soluções são:
Então, as raízes da função são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico da função, dependendo se a parábola abre para cima ou para baixo. Para isso, usamos as fórmulas:
Na nossa função , os coeficientes são e . Então:
Agora, calculamos :
Portanto, as coordenadas do vértice são .

Passo 4

A imagem da função é o valor mínimo ou máximo que a função atinge. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima, o que significa que o vértice representa o ponto de mínimo da função. Assim, a imagem da função é .

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que:
  • As raízes são e .
  • O vértice está em .
  • A parábola abre para cima.
  • O ponto onde a parábola intercepta o eixo y é quando :
Com essas informações, podemos desenhar uma parábola que passa pelos pontos , , e , abrindo para cima.

Passo 6

Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função . Isso significa determinar onde a função é positiva ou negativa.
Sabemos que a parábola cruza o eixo x em e , e o vértice está em .
  • Para : Escolha , . Então, .
  • Para : Escolha , . Então, .
  • Para : Escolha , . Então, .
Assim, o sinal da função é:

Resposta

As raízes da função são e . O vértice está localizado em . A imagem da função é . O gráfico é uma parábola que abre para cima, interceptando o eixo x nos pontos e e o eixo y no ponto . O estudo de sinal mostra que é positiva para e , e negativa para .

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