Supondo que o número de bactérias de uma certa cultura seja dado por:
, onde
é o tempo decorrido de observação da cultura de bactérias, dado em horas e
. Determine: O tempo necessário para que o número de bactérias aumente em
em relação ao número inicial.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função que descreve o número de bactérias ao longo do tempo:
Aqui,
é o tempo em horas. A questão quer saber quanto tempo vai levar para o número de bactérias aumentar em 80% em relação ao número inicial.
Conteúdo da matéria: Vamos usar a exponencial e o logaritmo natural para resolver esse problema.
O que precisamos: Identificar o tempo
que faz com que
seja 180 (que é 100 + 80% de 100).
Passo 2
Vamos traduzir o aumento de 80% em termos matemáticos. Se o número inicial de bactérias é 100, um aumento de 80% significa:
Então, queremos achar
tal que:
Passo 3
Substituímos
na equação:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, vamos isolar o termo exponencial dividindo ambos os lados por 100:
Passo 5
Para resolver equações com a base
, usamos o logaritmo natural (ln). Aplicamos o ln em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por 0,693:
Passo 7
Vamos calcular os valores:
Então,
Resposta
O tempo necessário para que o número de bactérias aumente em 80% é aproximadamente 0,85 horas.
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