Supondo que o número de bactérias de uma certa cultura seja dado por: , onde é o tempo decorrido de observação da cultura de bactérias, dado em horas e . Determine: O tempo necessário para que o número de bactérias aumente em em relação ao número inicial.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função que descreve o número de bactérias ao longo do tempo:
Aqui, é o tempo em horas. A questão quer saber quanto tempo vai levar para o número de bactérias aumentar em 80% em relação ao número inicial.
Conteúdo da matéria: Vamos usar a exponencial e o logaritmo natural para resolver esse problema.
O que precisamos: Identificar o tempo que faz com que seja 180 (que é 100 + 80% de 100).

Passo 2

Vamos traduzir o aumento de 80% em termos matemáticos. Se o número inicial de bactérias é 100, um aumento de 80% significa:
Então, queremos achar tal que:

Passo 3

Substituímos na equação:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar .

Passo 4

Primeiro, vamos isolar o termo exponencial dividindo ambos os lados por 100:

Passo 5

Para resolver equações com a base , usamos o logaritmo natural (ln). Aplicamos o ln em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 0,693:

Passo 7

Vamos calcular os valores:
Então,

Resposta

O tempo necessário para que o número de bactérias aumente em 80% é aproximadamente 0,85 horas.

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