Seja , esboce o gráfico e calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Temos uma função definida por partes e queremos fazer duas coisas: primeiro, desenhar o gráfico dessa função e, segundo, calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e aplicar conceitos de limites.

Passo 2

Vamos começar desenhando o gráfico de . A função está dividida em quatro partes, dependendo do valor de :
  1. Quando : Aqui, . Essa é uma função hiperbólica que tem uma assimptota vertical em e fica no quadrante negativo, já que é negativo.
  2. Quando : Agora, . Essa é uma parábola que abre para cima, começando em e indo até .
  3. Quando : A função tem um valor específico, . Isso cria um ponto aberto na parábola anterior e um ponto fechado em .
  4. Quando : Aqui, . Essa é uma reta decrescente que passa por e tende a diminuir conforme aumenta.

Passo 3

Com base nessas informações, vamos esboçar o gráfico:
  • Para , desenhamos a hipérbole no lado esquerdo do eixo .
  • Para , desenhamos a parábola começando no ponto até .
  • No ponto , marcamos um ponto fechado em .
  • Para , desenhamos a reta começando de e descendo para a direita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite . Esse limite quer saber o valor que se aproxima quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, valores de ligeiramente maiores que 0.

Passo 5

Para próximo de 0 pela direita, a função que está ativa é (porque estamos no intervalo ). O limite de quando tende a 0 é bem simples:

Resposta

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Seja . Esboce o gráfico de e calcule:
Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp:
Esboce o gráfico e faça o estudo de sinal das funções de grau:
Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções: