Determine as raízes das equações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com logaritmos de base 16. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e um pouquinho de álgebra. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: a soma de dois logaritmos com a mesma base pode ser transformada em um único logaritmo que é o logaritmo do produto dos argumentos. Ou seja:
Aplicando isso à nossa equação:
Passo 3
Agora, temos:
Vamos lembrar que se
, então
. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Sabemos que
é a raiz quadrada de 16, que é 4. Então, substituindo:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Vamos levar o 4 para o outro lado para igualar a equação a zero:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver.
Passo 6
Para resolver
, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 7
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Mas atenção! Precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original, pois no logaritmo, o argumento tem que ser positivo.
Para
:
Válido.
Para
:
Inválido, pois não podemos ter logaritmos de números negativos.
Resposta
A única solução válida é
.
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Faça o gráfico das funções abaixo.