Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
(b) As raízes cúbicas de 1
(b) As raízes cúbicas de 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes cúbicas de 1 e esboçá-las no plano complexo de Argand-Gauss. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e radiciação no campo complexo. Precisaremos entender o que são raízes de uma unidade e como representá-las geometricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são raízes cúbicas de 1. Basicamente, são os números complexos
que, elevados ao cubo, dão 1. Ou seja, queremos encontrar todos os
tais que:
Passo 3
Para resolver isso, vamos utilizar a forma polar dos números complexos. Qualquer número complexo pode ser escrito como:
onde
é o módulo (distância do ponto até a origem) e
é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
Passo 4
Já que queremos
, podemos representar 1 no plano complexo como:
Agora, aplicando a fórmula para as raízes
-ésimas de um número complexo, temos:
onde
(já que queremos raízes cúbicas).
Passo 5
Calculando para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos as três raízes, vamos representá-las no plano complexo de Argand-Gauss:
-
está no ponto (1, 0). -
está no ponto . -
está no ponto .
Esses pontos formam um triângulo equilátero no plano complexo, todos a uma unidade de distância da origem.
Resposta
As raízes cúbicas de 1 são: