Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
(b) As raízes cúbicas de 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes cúbicas de 1 e esboçá-las no plano complexo de Argand-Gauss. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e radiciação no campo complexo. Precisaremos entender o que são raízes de uma unidade e como representá-las geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são raízes cúbicas de 1. Basicamente, são os números complexos que, elevados ao cubo, dão 1. Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:

Passo 3

Para resolver isso, vamos utilizar a forma polar dos números complexos. Qualquer número complexo pode ser escrito como:
onde é o módulo (distância do ponto até a origem) e é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).

Passo 4

Já que queremos , podemos representar 1 no plano complexo como:
Agora, aplicando a fórmula para as raízes -ésimas de um número complexo, temos:
onde (já que queremos raízes cúbicas).

Passo 5

Calculando para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos as três raízes, vamos representá-las no plano complexo de Argand-Gauss:
  1. está no ponto (1, 0).
  2. está no ponto .
  3. está no ponto .
Esses pontos formam um triângulo equilátero no plano complexo, todos a uma unidade de distância da origem.

Resposta

As raízes cúbicas de 1 são:

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