Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
(d) As raízes cúbicas de
(d) As raízes cúbicas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes cúbicas de
e desenhá-las no plano complexo de Argand-Gauss. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre, que nos ajuda a calcular raízes de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número
na forma polar. Um número complexo na forma polar é dado por
, onde
é o módulo (ou magnitude) e
é o argumento (ou ângulo).
Para
:
- O módulo
é o valor absoluto do número complexo, que no caso é 8. - O argumento
é o ângulo em relação ao eixo real positivo. Como está no eixo imaginário negativo, radianos.
Então,
na forma polar fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas. A fórmula geral para encontrar a
-ésima raiz de um número complexo
é:
No nosso caso,
e
,
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma das três raízes correspondentes a
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos esboçar essas raízes no plano complexo de Argand-Gauss. No eixo horizontal, temos a parte real, e no vertical, a parte imaginária.
-
está no ponto . -
está no ponto . -
está no ponto .
Esses pontos formam um triângulo equilátero no plano complexo, cada um separado por
, o que é característico das raízes cúbicas de um número complexo.
Resposta
As três raízes cúbicas de
são: