Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
(d) As raízes cúbicas de -8 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes cúbicas de e desenhá-las no plano complexo de Argand-Gauss. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre, que nos ajuda a calcular raízes de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número na forma polar. Um número complexo na forma polar é dado por , onde é o módulo (ou magnitude) e é o argumento (ou ângulo).
Para :
  • O módulo é o valor absoluto do número complexo, que no caso é 8.
  • O argumento é o ângulo em relação ao eixo real positivo. Como está no eixo imaginário negativo, radianos.
Então, na forma polar fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas. A fórmula geral para encontrar a -ésima raiz de um número complexo é:
No nosso caso, e , .

Passo 4

Vamos calcular cada uma das três raízes correspondentes a , e :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos esboçar essas raízes no plano complexo de Argand-Gauss. No eixo horizontal, temos a parte real, e no vertical, a parte imaginária.
  • está no ponto .
  • está no ponto .
  • está no ponto .
Esses pontos formam um triângulo equilátero no plano complexo, cada um separado por , o que é característico das raízes cúbicas de um número complexo.

Resposta

As três raízes cúbicas de são:

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