Determine z em C tal que:
© ((1+i)/(1-i))^2 + 1/z = 1+i

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar um número complexo que satisfaz a equação
Aqui, estamos trabalhando com números complexos ( ) e operações com frações e exponenciação. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e depois isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
Portanto, a fração simplificada fica:

Passo 4

Agora, voltamos à expressão original:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Vamos isolar :
Isso foi feito somando 1 dos dois lados para eliminar o -1.

Passo 6

Agora, para encontrar , tomamos o inverso de ambos os lados:

Passo 7

Para simplificar , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado de , que é :
Portanto,

Resposta

O número complexo que satisfaz a equação é

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