Determine as raízes dos números complexos abaixo…
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes de dois números complexos:
e
. A gente vai usar o conteúdo de números complexos e raízes de números complexos. Para isso, vamos precisar transformar os números para a forma polar e aplicar o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a parte (a):
. Para isso, precisamos transformar o número complexo
na forma polar. Um número complexo na forma retangular
pode ser convertido para a forma polar
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo
de
:
E o argumento
é:
Então,
em forma polar é:
Passo 4
Agora, para encontrar a raiz cúbica, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
Aqui,
, então teremos 3 raízes.
Passo 5
Aplicando o Teorema de De Moivre:
E os argumentos serão:
Então, as três raízes são:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b):
. Primeiro, representamos
como um número complexo na forma polar. Sabemos que
porque está no lado negativo do eixo real.
Passo 7
Usando o Teorema de De Moivre para a raiz quarta:
Calculando
:
Passo 8
Calculando os argumentos para cada
:
Então, as quatro raízes são:
Resposta
As raízes são:
(a)
(b)
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.
(a)
(a)
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e
.
a)
a)