Determine as raízes dos números complexos abaixo…
(a)(-1+i)^(1/3), (b)(-4)^(1/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes de dois números complexos: e . A gente vai usar o conteúdo de números complexos e raízes de números complexos. Para isso, vamos precisar transformar os números para a forma polar e aplicar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a parte (a): . Para isso, precisamos transformar o número complexo na forma polar. Um número complexo na forma retangular pode ser convertido para a forma polar , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo de :
E o argumento é:
á
Então, em forma polar é:

Passo 4

Agora, para encontrar a raiz cúbica, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
Aqui, , então teremos 3 raízes.

Passo 5

Aplicando o Teorema de De Moivre:
E os argumentos serão:
Então, as três raízes são:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): . Primeiro, representamos como um número complexo na forma polar. Sabemos que porque está no lado negativo do eixo real.

Passo 7

Usando o Teorema de De Moivre para a raiz quarta:
Calculando :

Passo 8

Calculando os argumentos para cada :
Então, as quatro raízes são:

Resposta

As raízes são:
(a)
(b)

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