Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em relação a
e
, além de aplicar essas derivadas nos pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
mantendo
constante, e depois em relação a
mantendo
constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Derivando termo a termo:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso envolve derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
:
Em seguida, a derivada mista, derivando
em relação a
:
Por fim, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las nos pontos dados.
Primeiro, no ponto
:
Agora, no ponto
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
No ponto
:
No ponto
: