Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos 1,4 e -3,2.
a) f(x, y) = 5x^2 + 4xy^3 + 2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em relação a e , além de aplicar essas derivadas nos pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos derivar em relação a mantendo constante, e depois em relação a mantendo constante.
A derivada parcial de em relação a é:
Derivando termo a termo:
Agora, a derivada parcial de em relação a é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso envolve derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada mista, derivando em relação a :
Por fim, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las nos pontos dados.
Primeiro, no ponto :
Agora, no ponto :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:
No ponto :
No ponto :

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