Encontre a solução do problema de valor inicial e faça o gráfico da solução e descreva como ela se comporta quando .
(a)

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais e . Para isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Precisaremos encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para solucioná-la, vamos tentar uma solução do tipo potência, ou seja, assumimos que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Fatoramos :
Como , temos a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Assim, temos duas soluções para :

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções independentes encontradas:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :
Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Passo 7

Agora temos o sistema de equações:
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
Quando , o termo tende a , portanto, tende a .

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