Encontre a solução do problema de valor inicial e faça o gráfico da solução e descreva como ela se comporta quando
.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Precisaremos encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para solucioná-la, vamos tentar uma solução do tipo potência, ou seja, assumimos que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Fatoramos
:
Como
, temos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
Assim, temos duas soluções para
:
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções independentes encontradas:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
:
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 7
Agora temos o sistema de equações:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
Quando
, o termo
tende a
, portanto,
tende a
.
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