Nos problemas abaixo, descreva o conjunto dos pontos
que satisfazem a equação dada.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para descrever o conjunto dos pontos
no plano complexo que satisfazem a equação
. Para isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, como representação cartesiana e módulo, além de manipulações algébricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma cartesiana, ou seja,
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
Agora, substituímos
na equação original:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos expandir o lado direito da equação:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Para resolver essa equação, precisamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados. Assim, temos:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 6
Vamos resolver a parte imaginária primeiro:
Agora, substituímos
na equação da parte real:
Passo 7
Rearranjamos a equação para resolver em relação a
:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os pontos
que satisfazem a equação são
e
.
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que satisfazem a equação dada.
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Encontre a solução do problema de valor inicial e faça o gráfico da solução e descreva como ela se comporta quando
.
(a)
(a)
Determine as raízes dos números complexos abaixo…