Determine a razão e a soma da série geométrica convergente sumn=1^+infty 2^n3^n-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a razão e a soma de uma série geométrica que é convergente. A série dada é . Então, primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica e quais informações precisamos para resolver isso. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ( ). Para encontrar a soma dessa série, precisamos saber qual é essa razão e garantir que a série realmente converge, ou seja, que a soma não “exploda” para o infinito.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão geral do termo da série para identificar a razão. O termo geral é 2^n3^n-1 = 2^n3^n cdot 3^-1 = 2^n cdot 3^1 - n = (23)^n cdot 3 . Podemos reescrever isso assim:
sumn=1^+infty 3 (23)^n
Então, a série fica:
Agora, fica claro que a série geométrica tem a razão .

Passo 3

Para uma série geométrica ser convergente, a razão precisa satisfazer . No nosso caso, , e , então a série realmente converge. Isso significa que podemos usar a fórmula da soma da série geométrica para calcular o valor total dessa série.

Passo 4

A fórmula para a soma S = a11 - r de uma série geométrica infinita que converge é:
a1 = 3 (23)^1 = 3 cdot 23 = 2
Onde S = 21 - 23 = 213 = 2 cdot 3 = 6 é o primeiro termo da série e é a razão. Vamos identificar na nossa série. Quando :
Agora, aplicando na fórmula:

Resposta

A razão da série é e a soma da série é .

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