Escreva os quatro primeiros termos da série e em seguida teste sua convergência.

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por:
O conteúdo envolvido aqui é de séries e produtos. Precisamos primeiro encontrar os quatro primeiros termos dessa série e depois verificar se a série converge, ou seja, se ela tem um valor finito quando somamos todos os seus termos.

Passo 2

Vamos procurar calcular os quatro primeiros termos da série para .
Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 3

Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 4

Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 5

Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 6

Agora que temos os quatro primeiros termos:



Vamos agora testar a convergência da série. Uma forma comum de testar a convergência é usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a ver se os termos da série estão diminuindo suficientemente rápido para que a soma total não “exploda” para o infinito.

Passo 7

Teste da Razão: Calculamos o limite da razão entre dois termos consecutivos:
Se , a série converge. Se , diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 8

Primeiro, identificamos :
Agora, calculamos :
Então, a razão é:

Passo 9

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são , , e . Além disso, a série não converge.

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