Escreva os quatro primeiros termos da série sumn=1^infty 2.5 8 ldots(3 n-1)3.5 7 cdots(2 n+1) e em seguida teste sua convergência.

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por:
sumn=1^infty 2 cdot 5 cdot 8 cdots (3n -1)3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n +1)
O conteúdo envolvido aqui é de séries e produtos. Precisamos primeiro encontrar os quatro primeiros termos dessa série e depois verificar se a série converge, ou seja, se ela tem um valor finito quando somamos todos os seus termos.

Passo 2

Vamos procurar calcular os quatro primeiros termos da série para .
Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 3

Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 4

Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 5

Para :
Numerador:
Denominador:
Então,

Passo 6

Agora que temos os quatro primeiros termos:



Vamos agora testar a convergência da série. Uma forma comum de testar a convergência é usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a ver se os termos da série estão diminuindo suficientemente rápido para que a soma total não “exploda” para o infinito.

Passo 7

Teste da Razão: Calculamos o limite L = limn to infty | an+1an | da razão entre dois termos consecutivos:
Se , a série converge. Se , diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 8

Primeiro, identificamos an = 2 cdot 5 cdot 8 cdots (3n -1)3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n +1) :
an+1 = 2 cdot 5 cdot 8 cdots (3(n+1) -1)3 cdot 5 cdot 7 cdots (2(n+1) +1) = 2 cdot 5 cdot 8 cdots (3n +2)3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n +3)
Agora, calculamos an+1an = (3n +2)(2n +3) :
Então, a razão é:

Passo 9

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 3n +22n +3 = 32 tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são , , e . Além disso, a série não converge.

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