Uma empresa de entregas aceita somente caixas retangulares tal que a soma de suas dimensões (comprimento, largura e altura) seja 135 cm . Encontre as dimensões de uma caixa aceitável de maior volume possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo geometria. A empresa de entregas só aceita caixas retangulares onde a soma do comprimento, largura e altura é 135 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir quais devem ser essas três medidas para que a caixa tenha o maior volume possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar as três dimensões da caixa de (comprimento), (largura) e (altura). Sabemos que a soma dessas medidas é 135 cm, ou seja:
Queremos maximizar o volume da caixa, que é dado por:

Passo 3

Como temos uma equação com três variáveis, vamos simplificar. Podemos expressar duas variáveis em função da terceira usando a equação da soma. Por exemplo, vamos resolver para :
Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 4

Para encontrar o máximo volume, precisamos otimizar essa função. Vamos supor que, para maximizar o volume, as três dimensões sejam iguais, ou seja . Então:
Portanto, e .

Passo 5

Vamos confirmar se isso realmente dá o máximo volume. Substituindo:

Resposta

As dimensões da caixa com o maior volume possível são 45 cm de comprimento, 45 cm de largura e 45 cm de altura.

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