Use o teste da razão para estudar a convergência da série .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa usar o teste da razão para ver se essa série converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da matemática que ajuda a saber se uma série infinita soma um valor finito ou não. Para isso, vamos precisar calcular o limite do quociente entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar o teste da razão. A gente calcula:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá resposta.

Passo 3

Agora, vamos identificar na nossa série. Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos montar o quociente :
Simplificando:

Passo 6

Vamos observar o termo . Sabemos que , então:
Para valores grandes de , domina, então podemos aproximar:

Passo 7

Substituindo de volta no quociente:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 9

Como , pelo teste da razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão.

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