Use o teste da razão para estudar a convergência da série .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa usar o teste da razão para ver se essa série converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da matemática que ajuda a saber se uma série infinita soma um valor finito ou não. Para isso, vamos precisar calcular o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar o teste da razão. A gente calcula:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá resposta.
Passo 3
Agora, vamos identificar na nossa série. Aqui, .
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, vamos montar o quociente :
Simplificando:
Passo 6
Vamos observar o termo . Sabemos que , então:
Para valores grandes de , domina, então podemos aproximar:
Passo 7
Substituindo de volta no quociente:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito: