Use o teste da razão para estudar a convergência da série sumn=1^infty 10^2 n2+n!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa usar o teste da razão para ver se essa série converge ou diverge. O teste da razão é uma técnica da matemática que ajuda a saber se uma série infinita soma um valor finito ou não. Para isso, vamos precisar calcular o limite do quociente entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar o teste da razão. A gente calcula:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não dá resposta.

Passo 3

Agora, vamos identificar na nossa série. Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular an+1 = 10^2(n+1)2 + (n+1)! = 10^2n + 22 + (n+1)! :

Passo 5

Agora, vamos montar o quociente an+1an = 10^2n + 22 + (n+1)! times 2 + n!10^2n = 10^2 cdot (2 + n!)2 + (n+1)! :
an+1an = 100 cdot (2 + n!)2 + (n+1)!
Simplificando:

Passo 6

Vamos observar o termo 2 + (n+1)! = 2 + (n+1) cdot n! . Sabemos que 2 + (n+1)! approx (n+1) cdot n! , então:
Para valores grandes de , domina, então podemos aproximar:

Passo 7

Substituindo de volta no quociente:
an+1an approx 100 cdot n!(n+1) cdot n! = 100n+1

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 100n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 9

Como , pelo teste da razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão.

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