Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as razões trigonométricas exatas para o ângulo de medida
radianos. Isso envolve trabalhar com seno, cosseno e tangente desse ângulo. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria, como o círculo trigonométrico e as identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o ângulo
está no círculo trigonométrico. Sabemos que
radianos equivalem a 180 graus, então
radianos são 135 graus. Esse ângulo fica no segundo quadrante do círculo trigonometrico.
Passo 3
No segundo quadrante, o seno é positivo, enquanto o cosseno e a tangente são negativos. Isso porque, no círculo trigonométrico, as coordenadas são dadas por
. No segundo quadrante, o valor de
(cosseno) é negativo e o valor de
(seno) é positivo.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que
radianos é igual a
. Isso nos ajuda a usar ângulos de referência. O ângulo de referência é o menor ângulo que o ângulo dado forma com o eixo x, que nesse caso é
ou
radianos.
Passo 5
Sabemos que para
, as razões trigonométricas são:
Como estamos no segundo quadrante:
- O seno permanece positivo.
- O cosseno e a tangente tornam-se negativos.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso ângulo de
:
Resposta
As razões trigonométricas exatas para o ângulo
são:
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Prove as fórmulas para
e
usando as técnicas vistas em aula.
Converta de radianos para graus.
Prove que as seguintes expressões valem para quaisquer
:
Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.