Prove que as seguintes expressões valem para quaisquer
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar umas identidades trigonométricas envolvendo seno e cosseno para quaisquer números reais
e
. A matéria aqui é trigonometria, mais especificamente as fórmulas de soma e diferença de ângulos. Vamos precisar dessas fórmulas para transformar e simplificar as expressões dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de soma e diferença para seno e cosseno. Elas são super úteis para decompor expressões trigonométricas. As fórmulas são:
Vamos usar essas fórmulas para reescrever os produtos de senos e cossenos nas expressões que queremos provar.
Passo 3
Vamos começar provando a primeira identidade:
Para isso, vamos usar as fórmulas de cosseno da soma e diferença:
Agora, subtraindo a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, vamos provar a segunda identidade:
Usando as fórmulas de seno da soma e diferença:
Somando essas duas equações:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Por último, vamos provar a terceira identidade:
Já temos as fórmulas de cosseno da soma e diferença:
Somando essas duas equações:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
As três identidades foram provadas usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos para seno e cosseno. Portanto, para quaisquer
:
Exercícios relacionados
Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
Prove as fórmulas para
e
usando as técnicas vistas em aula.
Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
Determine todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade.