Prove que as seguintes expressões valem para quaisquer x, y in R :
sen(x) sen(y) & =12(cos (x-y)-cos (x+y)) sen(x) cos (y) & =12(sen(x-y)+sen(x+y)) cos (x) cos (y) & =12(cos (x-y)+cos (x+y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar umas identidades trigonométricas envolvendo seno e cosseno para quaisquer números reais e . A matéria aqui é trigonometria, mais especificamente as fórmulas de soma e diferença de ângulos. Vamos precisar dessas fórmulas para transformar e simplificar as expressões dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de soma e diferença para seno e cosseno. Elas são super úteis para decompor expressões trigonométricas. As fórmulas são:
sin(a pm b) &= sin(a)cos(b) pm cos(a)sin(b) cos(a pm b) &= cos(a)cos(b) mp sin(a)sin(b)
Vamos usar essas fórmulas para reescrever os produtos de senos e cossenos nas expressões que queremos provar.

Passo 3

Vamos começar provando a primeira identidade:
sin(x) sin(y) = 12 [cos(x - y) - cos(x + y)]
Para isso, vamos usar as fórmulas de cosseno da soma e diferença:
cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
Agora, subtraindo a segunda equação da primeira:
cos(x - y) - cos(x + y) = [cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)] - [cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)]
Simplificando:
cos(x - y) - cos(x + y) = 2sin(x)sin(y)
Dividindo ambos os lados por 2:
sin(x)sin(y) = 12 [cos(x - y) - cos(x + y)]

Passo 4

Agora, vamos provar a segunda identidade:
sin(x) cos(y) = 12 [sin(x - y) + sin(x + y)]
Usando as fórmulas de seno da soma e diferença:
sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)
Somando essas duas equações:
sin(x + y) + sin(x - y) = 2sin(x)cos(y)
Dividindo ambos os lados por 2:
sin(x)cos(y) = 12 [sin(x + y) + sin(x - y)]

Passo 5

Por último, vamos provar a terceira identidade:
cos(x) cos(y) = 12 [cos(x - y) + cos(x + y)]
Já temos as fórmulas de cosseno da soma e diferença:
cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
Somando essas duas equações:
cos(x - y) + cos(x + y) = 2cos(x)cos(y)
Dividindo ambos os lados por 2:
cos(x)cos(y) = 12 [cos(x - y) + cos(x + y)]

Resposta

As três identidades foram provadas usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos para seno e cosseno. Portanto, para quaisquer sin(x) sin(y) &= 12 [cos(x - y) - cos(x + y)] sin(x) cos(y) &= 12 [sin(x - y) + sin(x + y)] cos(x) cos(y) &= 12 [cos(x - y) + cos(x + y)] :

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