Prove que as seguintes expressões valem para quaisquer :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar umas identidades trigonométricas envolvendo seno e cosseno para quaisquer números reais e . A matéria aqui é trigonometria, mais especificamente as fórmulas de soma e diferença de ângulos. Vamos precisar dessas fórmulas para transformar e simplificar as expressões dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de soma e diferença para seno e cosseno. Elas são super úteis para decompor expressões trigonométricas. As fórmulas são:
Vamos usar essas fórmulas para reescrever os produtos de senos e cossenos nas expressões que queremos provar.

Passo 3

Vamos começar provando a primeira identidade:
Para isso, vamos usar as fórmulas de cosseno da soma e diferença:
Agora, subtraindo a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora, vamos provar a segunda identidade:
Usando as fórmulas de seno da soma e diferença:
Somando essas duas equações:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Por último, vamos provar a terceira identidade:
Já temos as fórmulas de cosseno da soma e diferença:
Somando essas duas equações:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

As três identidades foram provadas usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos para seno e cosseno. Portanto, para quaisquer :

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