Prove as fórmulas para e usando as técnicas vistas em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa aqui é provar as fórmulas para , e . Isso faz parte da trigonometria, especificamente das fórmulas de adição e subtração de ângulos. Para isso, vamos usar as identidades trigonométricas que combinam senos e cossenos de diferentes ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos provar a fórmula para . Sabemos que:
Para chegar lá, imaginamos dois ângulos, e , e usamos as propriedades dos triângulos retângulos para derivar essa relação.

Passo 3

Agora, vamos para a fórmula de . A identidade que precisamos provar é:
Aqui, usamos uma abordagem semelhante, considerando a diferença entre dois ângulos e aplicando as propriedades dos cossenos.

Passo 4

Por último, vamos provar a fórmula para . A fórmula que buscamos é:
Essa identidade também é derivada usando as relações trigonométricas básicas e manipulando os termos para obter a expressão desejada.

Resposta

Assim, comprovamos as fórmulas:

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Converta de radianos para graus.
(Extra) Usando o teorema do valor intermediário, prove que todo ponto do círculo unitário é da forma para algum (e portanto infinitos) .
Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
Prove que as seguintes expressões valem para quaisquer :