Seja alpha=(1,0,0,1),(2,0,1,0),(4,5,6,2),(1,5,5,1) e seja V o subespaço gerado por alpha.
(a) Determine uma base de V obtida a partir dos elementos de alpha.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o subespaço gerado pelo conjunto . Estamos no assunto de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com vetores e bases de subespaços. Para resolver isso, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais deles formam uma base para .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores como linhas de uma matriz. Isso vai facilitar na hora de fazer operações de linha para verificar a independência linear.
1 & 0 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 4 & 5 & 6 & 2 1 & 5 & 5 & 1

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e ver se conseguimos identificar pivôs (elementos principais) em cada coluna. Isso nos dirá se os vetores são independentes.
Primeiro, usamos o primeiro vetor para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow (2-2*1, 0-2*0, 1-2*0, 0-2*1) = (0, 0, 1, -2)
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 4R1 Rightarrow (4-4*1, 5-4*0, 6-4*0, 2-4*1) = (0, 5, 6, -2)
  • Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - R1 Rightarrow (1-1, 5-0, 5-0, 1-1) = (0, 5, 5, 0)
A matriz fica assim:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -2 0 & 5 & 6 & -2 0 & 5 & 5 & 0

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Perceba que a segunda linha tem um zero na segunda coluna, então vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar.
Matriz após a troca:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 5 & 6 & -2 0 & 0 & 1 & -2 0 & 5 & 5 & 0

Passo 5

Em seguida, usamos a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
  • Subtraímos a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - R2 Rightarrow (0-0, 5-5, 5-6, 0-(-2)) = (0, 0, -1, 2)
A matriz fica:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 5 & 6 & -2 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & -1 & 2

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Vamos somar a terceira linha com a quarta linha para eliminar o elemento na quarta linha.
R4 = R4 + R3 Rightarrow (0+0, 0+0, -1+1, 2+(-2)) = (0, 0, 0, 0)
A matriz finalizada fica:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 5 & 6 & -2 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Observamos que a última linha é toda zero, o que indica que há dependência linear entre os vetores. Portanto, temos 3 pivôs, significando que apenas 3 vetores são necessários para formar uma base para .

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores , e .

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