Seja e seja o subespaço gerado por .
(a) Determine uma base de obtida a partir dos elementos de .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o subespaço gerado pelo conjunto . Estamos no assunto de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com vetores e bases de subespaços. Para resolver isso, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais deles formam uma base para .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores como linhas de uma matriz. Isso vai facilitar na hora de fazer operações de linha para verificar a independência linear.
Passo 3
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e ver se conseguimos identificar pivôs (elementos principais) em cada coluna. Isso nos dirá se os vetores são independentes.
Primeiro, usamos o primeiro vetor para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Perceba que a segunda linha tem um zero na segunda coluna, então vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar.
Observamos que a última linha é toda zero, o que indica que há dependência linear entre os vetores. Portanto, temos 3 pivôs, significando que apenas 3 vetores são necessários para formar uma base para .