Determine a região em que cada função é contínua:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar onde a função é contínua. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar onde essa condição é satisfeita para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função neste ponto. Em outras palavras:
Então, para determinar onde a função é contínua, precisamos verificar essa condição em todos os pontos do seu domínio.

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Observamos que a função está definida para todos os pontos no plano, exceto possivelmente no ponto . Isso porque, para , a expressão está bem definida, já que o denominador nunca será zero (a menos que e , que é justamente o ponto que estámos examinando separadamente).

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em . Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de :
Se esse limite existir e for igual a , então a função será contínua em .

Passo 5

Para calcular esse limite, uma técnica útil é mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, quando , se aproxima de . Vamos reescrever a função em termos de e :
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por :

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando :
  • O numerador contém um fator , que tende a zero.
  • No denominador, o primeiro termo tende a zero, e o segundo termo depende apenas de .
Portanto, a expressão se comporta como:
Isso sugere que o limite é zero, independentemente do valor de . Porém, para garantir que o limite é zero de todas as direções, precisamos verificar se esse resultado é consistente em diferentes trajetórias.

Passo 7

Vamos testar duas trajetórias específicas:
  1. Trajetória :
    O limite é zero.
  2. Trajetória com :
    Substituindo na função:
    Para que o limite seja zero, precisamos que o expoente de no numerador seja maior que o do denominador. Analisando diferentes valores de , percebemos que quando , a função tende a um valor constante, indicando que o limite depende da direção escolhida.
Isso mostra que o limite pode variar dependendo da trajetória, o que implica que o limite geral não existe.

Passo 8

Como o limite não existe ou não é único, concluímos que a função não é contínua no ponto . Entretanto, para todos os outros pontos , a função é uma razão de polinômios com denominador diferente de zero, o que garante sua continuidade.

Resposta

A função é contínua em todo o plano , exceto no ponto .

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