Determine a região em que cada função é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar onde a função
é contínua. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar onde essa condição é satisfeita para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade para funções de duas variáveis. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função neste ponto. Em outras palavras:
Então, para determinar onde a função
é contínua, precisamos verificar essa condição em todos os pontos do seu domínio.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Observamos que a função está definida para todos os pontos
no plano, exceto possivelmente no ponto
. Isso porque, para
, a expressão
está bem definida, já que o denominador nunca será zero (a menos que
e
, que é justamente o ponto que estámos examinando separadamente).
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Precisamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
:
Se esse limite existir e for igual a
, então a função será contínua em
.
Passo 5
Para calcular esse limite, uma técnica útil é mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim, quando
,
se aproxima de
. Vamos reescrever a função em termos de
e
:
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando
:
- O numerador contém um fator
, que tende a zero. - No denominador, o primeiro termo
tende a zero, e o segundo termo depende apenas de .
Portanto, a expressão se comporta como:
Isso sugere que o limite é zero, independentemente do valor de
. Porém, para garantir que o limite é zero de todas as direções, precisamos verificar se esse resultado é consistente em diferentes trajetórias.
Passo 7
Vamos testar duas trajetórias específicas:
-
Trajetória
: O limite é zero. -
Trajetória
com :
Substituindo na função:Para que o limite seja zero, precisamos que o expoente deno numerador seja maior que o do denominador. Analisando diferentes valores de , percebemos que quando , a função tende a um valor constante, indicando que o limite depende da direção escolhida.
Isso mostra que o limite pode variar dependendo da trajetória, o que implica que o limite geral não existe.
Passo 8
Como o limite não existe ou não é único, concluímos que a função
não é contínua no ponto
. Entretanto, para todos os outros pontos
, a função é uma razão de polinômios com denominador diferente de zero, o que garante sua continuidade.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
, exceto no ponto
.
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