Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se existe o limite na origem para a função . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente escolhe para se aproximar da origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Note que temos um no numerador multiplicado por , e no denominador temos . Nosso objetivo é ver o que acontece com quando se aproxima de (0,0).

Passo 3

Vamos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o resultado depende da trajetória escolhida. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos considerar . Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos considerar . Substituindo na função:
Aqui também o limite é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante. Substituindo:
Quando aproxima de 0, , então:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite também é 0.

Passo 7

Quarto caminho: Vamos escolher um caminho mais complicado, por exemplo, . Substituindo:
Sabemos que quando é próximo de 0, então:
Esse caminho também resulta em 0.

Passo 8

Até agora, todos os caminhos que testamos deram limite igual a 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar uma estimativa geral.
Observando a função:
Portanto,
Como tende a 0, também tende a 0. Por meio do Teorema do Aperfeiçoamento (ou do Enforcamento), podemos concluir que o limite de é 0.

Resposta

O limite da função na origem existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Mostre que os limites abaixo não existem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem: