Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se existe o limite na origem para a função . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente escolhe para se aproximar da origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Note que temos um
no numerador multiplicado por , e no denominador temos
. Nosso objetivo é ver o que acontece com
quando
se aproxima de (0,0).
Passo 3
Vamos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o resultado depende da trajetória escolhida. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos considerar
. Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos considerar
. Substituindo na função:
Aqui também o limite é 0.
Passo 6
Terceiro caminho: Vamos tentar um caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo:
Quando
aproxima de 0, , então:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite também é 0.
Passo 7
Quarto caminho: Vamos escolher um caminho mais complicado, por exemplo,
. Substituindo:
Sabemos que quando
é próximo de 0, então:
Esse caminho também resulta em 0.
Passo 8
Até agora, todos os caminhos que testamos deram limite igual a 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar uma estimativa geral.
Observando a função:
Portanto,
Como
tende a 0,
também tende a 0. Por meio do Teorema do Aperfeiçoamento (ou do Enforcamento), podemos concluir que o limite de
é 0.
Resposta
O limite da função na origem existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Mostre que os limites abaixo não existem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem: