Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite da função não existe na origem . Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções de duas variáveis e calcular os limites ao longo de diferentes curvas que chegam na origem. Se encontrarmos caminhos que dão resultados diferentes, isso mostra que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando nos aproximamos da origem ao longo do eixo x, ou seja, quando .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo x é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando nos aproximamos da origem ao longo da linha , onde é uma constante qualquer.
Substituindo na função:
Perceba que o limite depende do valor de . Ou seja, dependendo da linha que escolhemos para nos aproximar da origem, o resultado do limite muda.

Passo 4

Como encontramos dois limites diferentes ao nos aproximarmos da origem por caminhos diferentes ( pelo eixo x e por ), isso significa que o limite geral da função não existe na origem.

Resposta

O limite da função não existe na origem porque os limites ao longo de diferentes curvas que levam à origem resultam em valores diferentes.

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Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Mostre que os limites abaixo não existem: