Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, calculando limites ao longo de curvas, que a função
não tem limite na origem (quando
e
tendem a 0). Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e calcular o limite ao longo de diferentes trajetórias para ver se obtemos resultados diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite ao longo da curva
. Isso significa que vamos substituir
por 0 na função e ver o que acontece quando
tende a 0.
Substituindo
:
Então, o limite quando
tende a
ao longo de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo da curva
. Substituímos
por 0 na função:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Portanto, o limite quando
tende a
ao longo de
é 1.
Passo 4
Observamos que calculamos o limite ao longo de duas curvas diferentes e obtivemos resultados diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo da trajetória escolhida, concluímos que o limite geral da função
na origem não existe.
Resposta
O limite da função
na origem não existe.
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Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
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Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: