Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
f(x, y) = (x^2 + sen^2(y)) / (4 x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, calculando limites ao longo de curvas, que a função não tem limite na origem (quando e tendem a 0). Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e calcular o limite ao longo de diferentes trajetórias para ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo da curva . Isso significa que vamos substituir por 0 na função e ver o que acontece quando tende a 0.
Substituindo :
Então, o limite quando tende a ao longo de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo da curva . Substituímos por 0 na função:
Substituindo :
Sabemos que , então:
Portanto, o limite quando tende a ao longo de é 1.

Passo 4

Observamos que calculamos o limite ao longo de duas curvas diferentes e obtivemos resultados diferentes:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo da trajetória escolhida, concluímos que o limite geral da função na origem não existe.

Resposta

O limite da função na origem não existe.

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