Resolva as equações separáveis: x y dx + (x + 1) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial separável: . Isso significa que a gente vai usar técnicas de equações diferenciais para separar as variáveis e encontrar a função em termos de . Vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar a derivada de em relação a , ou seja, . Começamos isolando os termos com :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e para integrar cada lado separadamente. Vamos reorganizar a equação:
Assim, conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é direta:
Para o lado direito, podemos simplificar a fração:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrações:
Podemos reorganizar essa expressão para isolar :
Como é apenas uma constante, podemos chamá-la de . Então:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é a constante de integração.

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