Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo separável:
. O que isso significa é que podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de integração e aplicar a condição inicial
para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Aqui, usei a propriedade de que
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com respeito a
:
Integrando:
Simplificando os expoentes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de integração ajustada.
Passo 5
Agora, elevamos ambos os lados ao cubo para resolver para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Para que isso seja verdadeiro, o que está dentro do cubo precisa ser zero:
Passo 7
Substituindo
na solução geral, temos:
Essa é a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações separáveis:
;
Determine a região do plano
para a qual a EDO teria uma única solução de problema do valor inicial
. Mostre as regiões no plano
.
.
A Figura abaixo mostra uma câmera montada em um ponto a 3000 pés da base da rampa de lançamento de um foguete. Vamos supor que o foguete sobe verticalmente e a câmera tira uma série de fotografias dele. Como o foguete estará subindo, o ângulo de elevação da câmera terá que variar segundo uma taxa para manter o foguete à vista. Além disso, como a distância entre a câmera e o foguete estará variando constantemente, o mecanismo de focalização da câmera também terá que variar a uma certa taxa para manter a fotografia em foco. Se o foguete mostrado na figura estiver subindo verticalmente a 880 pés/s, quando ele estiver a 4000 pés, com que rapidez o ângulo de elevação da câmera estará variando naquele instante para manter o foguete à vista?
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o círculo