Resolva as equações diferenciais diferenciais sujeitas às condições dadas.
Passo 1
Ok, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui. O enunciado é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função desconhecida com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar manipular essa equação para encontrar uma expressão para
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Aqui,
é a mesma coisa que
. Agora, nossa meta é separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para separar as variáveis:
Agora, podemos reescrever isso como:
Isso separa
de
, permitindo que integremos ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Teoria: A integral de
é
. Para o lado direito, podemos fazer uma substituição para facilitar a integração.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar o lado direito. Vamos usar a substituição:
Substituindo na integral:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Juntando os resultados das integrações:
Podemos combinar
e
em uma única constante
:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Passo 9
Utilizamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando por 2:
Resposta
A solução da equação diferencial é: