Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial não linear dada por
. Nosso objetivo é determinar quais regiões do plano
satisfazem as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para essa equação. Para isso, vamos precisar entender o que o teorema exige e analisar a função que define a nossa equação diferencial.
Passo 2
O Teorema de Existência e Unicidade, também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf, nos diz que, para uma equação diferencial da forma
, existem soluções únicas em torno de um ponto inicial
se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, forem contínuas em uma região ao redor desse ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Para que
seja contínua, a expressão dentro da raiz,
, deve ser não negativa, o que é sempre verdade, já que
e
são sempre maiores ou iguais a zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada também é contínua para todos os valores de
e
, exceto possivelmente no ponto onde
e
, pois aí a expressão dentro da raiz seria zero e a derivada poderia não ser definida.
Passo 5
Portanto, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano
exceto no ponto
. Isso significa que, em qualquer ponto diferente de
, há garantia de que existe uma solução única para a equação diferencial dada.
Resposta
As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para a equação diferencial
são satisfeitas em todas as regiões do plano
exceto no ponto
.
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Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
(b) Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde
, agora, é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.