Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial não linear dada por . Nosso objetivo é determinar quais regiões do plano satisfazem as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para essa equação. Para isso, vamos precisar entender o que o teorema exige e analisar a função que define a nossa equação diferencial.

Passo 2

O Teorema de Existência e Unicidade, também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf, nos diz que, para uma equação diferencial da forma , existem soluções únicas em torno de um ponto inicial se a função e sua derivada parcial em relação a , , forem contínuas em uma região ao redor desse ponto.

Passo 3

Vamos analisar a função . Para que seja contínua, a expressão dentro da raiz, , deve ser não negativa, o que é sempre verdade, já que e são sempre maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada também é contínua para todos os valores de e , exceto possivelmente no ponto onde e , pois aí a expressão dentro da raiz seria zero e a derivada poderia não ser definida.

Passo 5

Portanto, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano exceto no ponto . Isso significa que, em qualquer ponto diferente de , há garantia de que existe uma solução única para a equação diferencial dada.

Resposta

As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para a equação diferencial são satisfeitas em todas as regiões do plano exceto no ponto .

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Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
(b) Se não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde , agora, é uma função de . Substituindo na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .