Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais, especificamente aquelas que conseguimos resolver com mudança de variável. A dica é fazer a substituição
, que vai facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
. Isso significa que podemos escrever
em termos de
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Calculando
usando a regra do quociente:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar a substituição na equação original:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Podemos cancelar o
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial mais simples que podemos resolver.
Passo 6
A equação
é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 9
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução da equação é
.
Exercícios relacionados
Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
(b) Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde
, agora, é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
.
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.