Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais, especificamente aquelas que conseguimos resolver com mudança de variável. A dica é fazer a substituição
, que vai facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
. Isso significa que podemos escrever
em termos de
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Calculando
usando a regra do quociente:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar a substituição na equação original:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Podemos cancelar o
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial mais simples que podemos resolver.
Passo 6
A equação
é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 9
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução da equação é
.