Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais, especificamente aquelas que conseguimos resolver com mudança de variável. A dica é fazer a substituição , que vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir . Isso significa que podemos escrever em termos de :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Calculando usando a regra do quociente:
Multiplicando ambos os lados por para facilitar a substituição na equação original:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Podemos cancelar o de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial mais simples que podemos resolver.

Passo 6

A equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, vamos resolver para .

Passo 9

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução da equação é .

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Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
(b) Se não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde , agora, é uma função de . Substituindo na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .