Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
(b) Se não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde , agora, é uma função de . Substituindo na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição

Passo 1

Então, a gente recebeu uma equação diferencial de primeira ordem da forma . A missão aqui é mostrar que se a solução para essa equação for , então a função precisa satisfazer . Para resolver isso, vamos precisar saber como substituir a solução proposta na equação original e simplificar para encontrar uma expressão para .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a solução proposta na equação diferencial original . Isso significa que precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada :
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois multiplicando é a derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Agora, precisamos calcular a derivada da exponencial.

Passo 5

Sabemos que a derivada de é . Portanto:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Agora, retornamos à equação original e substituímos e :

Passo 7

Substituindo na equação:
Perceba que os termos com se cancelam.

Passo 8

Ficando apenas:
Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 9

Resposta

Exercícios relacionados

Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.