Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
(b) Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde
, agora, é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição
Passo 1
Então, a gente recebeu uma equação diferencial de primeira ordem da forma
. A missão aqui é mostrar que se a solução para essa equação for
, então a função
precisa satisfazer
. Para resolver isso, vamos precisar saber como substituir a solução proposta na equação original e simplificar para encontrar uma expressão para
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a solução proposta
na equação diferencial original
. Isso significa que precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada
:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois multiplicando é a derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Agora, precisamos calcular a derivada da exponencial.
Passo 5
Sabemos que a derivada de
é
. Portanto:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Agora, retornamos à equação original
e substituímos
e
:
Passo 7
Substituindo na equação:
Perceba que os termos com
se cancelam.
Passo 8
Ficando apenas:
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 9
Resposta
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Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
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Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante