Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem
y^prime+p(t) y=g(t)
(b) Se g(t) não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
y=A(t) e^-integral p(t) d t
onde A, agora, é uma função de t. Substituindo y na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que A(t) tem que satisfazer a condição
A^prime(t)=g(t) e^integral p(t) d t

Passo 1

Então, a gente recebeu uma equação diferencial de primeira ordem da forma . A missão aqui é mostrar que se a solução para essa equação for , então a função precisa satisfazer . Para resolver isso, vamos precisar saber como substituir a solução proposta na equação original e simplificar para encontrar uma expressão para .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a solução proposta na equação diferencial original . Isso significa que precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada y' = ddt [ A(t) e^-integral p(t) dt ] :
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois multiplicando é a derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = A'(t) e^-integral p(t) dt + A(t) ddt [ e^-integral p(t) dt ]
Agora, precisamos calcular a derivada da exponencial.

Passo 5

Sabemos que a derivada de ddt [ e^-integral p(t) dt ] = -p(t) e^-integral p(t) dt é . Portanto:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

y' = A'(t) e^-integral p(t) dt - p(t) A(t) e^-integral p(t) dt
Agora, retornamos à equação original e substituímos e :

Passo 7

Substituindo na equação:
A'(t) e^-integral p(t) dt - p(t) A(t) e^-integral p(t) dt + p(t) A(t) e^-integral p(t) dt = g(t)
Perceba que os termos com se cancelam.

Passo 8

Ficando apenas:
A'(t) e^-integral p(t) dt = g(t)
Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 9

A'(t) = g(t) e^integral p(t) dt

Resposta

Exercícios relacionados