Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a região do plano onde as condições do Teorema de Existência e Unicidade para equações não-lineares são atendidas. A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e teoremas de existência e unicidade para achar essa região.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, para garantir que uma solução para a equação diferencial existe e é única em algum intervalo, a função que define a equação deve ser contínua e satisfazer a condição de Lipschitz em relação à variável .
No nosso caso, a função é:

Passo 3

Vamos verificar onde essa função é contínua. A função será contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero, ou seja:
Fatorando, temos:
Então, e . Portanto, é contínua em toda a região do plano exceto nas linhas e .

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz. Para isso, derivamos em relação a :
Para que a condição de Lipschitz seja satisfeita, essa derivada deve ser contínua na região considerada. Observamos que, assim como , a derivada também não é definida quando ou .

Passo 5

Concluindo, as condições de existência e unicidade são atendidas onde é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz. Portanto, a região do plano que satisfaz essas hipóteses é:

Resposta

A região do plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas é:

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