Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a região do plano
onde as condições do Teorema de Existência e Unicidade para equações não-lineares são atendidas. A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e teoremas de existência e unicidade para achar essa região.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, para garantir que uma solução para a equação diferencial existe e é única em algum intervalo, a função que define a equação deve ser contínua e satisfazer a condição de Lipschitz em relação à variável
.
No nosso caso, a função é:
Passo 3
Vamos verificar onde essa função
é contínua. A função será contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero, ou seja:
Fatorando, temos:
Então,
e
. Portanto,
é contínua em toda a região do plano
exceto nas linhas
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz. Para isso, derivamos
em relação a
:
Para que a condição de Lipschitz seja satisfeita, essa derivada deve ser contínua na região considerada. Observamos que, assim como
, a derivada também não é definida quando
ou
.
Passo 5
Concluindo, as condições de existência e unicidade são atendidas onde
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz. Portanto, a região do plano
que satisfaz essas hipóteses é:
Resposta
A região do plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas é:
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