Utilize indução matemática para justificar o binômio de Newton: Dados a, b in R, quaisquer, temos
(a+b)^n=sumk=0^n Ck^n a^n-k b^k, forall n in N cup0
onde Ck^n=n!(n-k)!k!. Além disso, utilize o binômio de Newton para estudar a convergência ou divergência da série (sn)n onde
sn=C0^n2^n+C1^n2^n+cdots+Cn^n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar indução matemática para provar o Binômio de Newton. Basicamente, a gente precisa mostrar que pode ser expandido como uma soma envolvendo os coeficientes binomiais . Além disso, depois de provar isso, vamos usar o Binômio de Newton para analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam os coeficientes binomiais e os conceitos básicos de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos provar o Binômio de Newton usando indução matemática.
Caso Base: Vamos verificar para (a + b)^0 = 1 .
sumk=0^0 Ck^0 cdot a^0 - k cdot b^k = C0^0 cdot a^0 cdot b^0 = 1 cdot 1 cdot 1 = 1
E a soma:
Então, para , a igualdade vale.

Passo 3

Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade vale para algum (a + b)^m = sumk=0^m Ck^m cdot a^m - k cdot b^k , ou seja,

Passo 4

Passo Indutivo: Agora, vamos provar que a igualdade também vale para (a + b)^m + 1 = (a + b)^m cdot (a + b) .
Começamos expandindo = ( sumk=0^m Ck^m cdot a^m - k cdot b^k ) cdot (a + b) :
= sumk=0^m Ck^m cdot a^m - k +1 cdot b^k + sumk=0^m Ck^m cdot a^m - k cdot b^k +1
Usando a hipótese de indução:
= a cdot sumk=0^m Ck^m cdot a^m -k cdot b^k + b cdot sumk=0^m Ck^m cdot a^m -k cdot b^k
Distribuindo:
= sumk=0^m Ck^m cdot a^(m +1) - (k +1) cdot b^k +1 + sumk=0^m Ck^m cdot a^(m +1) -k cdot b^k
Vamos ajustar os índices para combinar os termos:
Ck^m+1 = Ck-1^m + Ck^m
Isso resulta em:
(a + b)^m +1 = sumk=0^m +1 Ck^m +1 cdot a^(m +1) -k cdot b^k
Usando a definição dos coeficientes binomiais, sabemos que:
Portanto, ao combinar os termos, obtemos:
Isso mostra que a igualdade vale para .

Passo 5

Como provamos o caso base e mostramos que se vale para , então vale para , pela indução matemática, concluímos que o Binômio de Newton é verdadeiro para todo .

Passo 6

Agora, vamos analisar a série sn = C0^n2^n + C1^n2^n + cdots + Cn^n2^n = sumk=0^n Ck^n2^n :
(a + b)^n = sumk=0^n Ck^n cdot a^n -k cdot b^k
Usando o Binômio de Newton, sabemos que:
(1 + 1)^n = sumk=0^n Ck^n cdot 1^n -k cdot 1^k = sumk=0^n Ck^n = 2^n
Se escolhermos sumk=0^n Ck^n2^n = 2^n2^n = 1 , temos:
Portanto:
Então, para todo , .

Resposta

A série converge para 1.

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