Utilize indução matemática para justificar o binômio de Newton: Dados
, quaisquer, temos
onde
. Além disso, utilize o binômio de Newton para estudar a convergência ou divergência da série
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar indução matemática para provar o Binômio de Newton. Basicamente, a gente precisa mostrar que
pode ser expandido como uma soma envolvendo os coeficientes binomiais
. Além disso, depois de provar isso, vamos usar o Binômio de Newton para analisar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam os coeficientes binomiais e os conceitos básicos de indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos provar o Binômio de Newton usando indução matemática.
Caso Base: Vamos verificar para
.
E a soma:
Então, para
, a igualdade vale.
Passo 3
Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade vale para algum
, ou seja,
Passo 4
Passo Indutivo: Agora, vamos provar que a igualdade também vale para
.
Começamos expandindo
:
Usando a hipótese de indução:
Distribuindo:
Vamos ajustar os índices para combinar os termos:
Isso resulta em:
Usando a definição dos coeficientes binomiais, sabemos que:
Portanto, ao combinar os termos, obtemos:
Isso mostra que a igualdade vale para
.
Passo 5
Como provamos o caso base e mostramos que se vale para
, então vale para
, pela indução matemática, concluímos que o Binômio de Newton é verdadeiro para todo
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a série
:
Usando o Binômio de Newton, sabemos que:
Se escolhermos
, temos:
Portanto:
Então, para todo
,
.
Resposta
A série
converge para 1.