Utilize indução matemática para justificar o binômio de Newton: Dados , quaisquer, temos
onde . Além disso, utilize o binômio de Newton para estudar a convergência ou divergência da série onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar indução matemática para provar o Binômio de Newton. Basicamente, a gente precisa mostrar que pode ser expandido como uma soma envolvendo os coeficientes binomiais . Além disso, depois de provar isso, vamos usar o Binômio de Newton para analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam os coeficientes binomiais e os conceitos básicos de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos provar o Binômio de Newton usando indução matemática.
Caso Base: Vamos verificar para .
E a soma:
Então, para , a igualdade vale.

Passo 3

Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade vale para algum , ou seja,

Passo 4

Passo Indutivo: Agora, vamos provar que a igualdade também vale para .
Começamos expandindo :
Usando a hipótese de indução:
Distribuindo:
Vamos ajustar os índices para combinar os termos:
Isso resulta em:
Usando a definição dos coeficientes binomiais, sabemos que:
Portanto, ao combinar os termos, obtemos:
Isso mostra que a igualdade vale para .

Passo 5

Como provamos o caso base e mostramos que se vale para , então vale para , pela indução matemática, concluímos que o Binômio de Newton é verdadeiro para todo .

Passo 6

Agora, vamos analisar a série :
Usando o Binômio de Newton, sabemos que:
Se escolhermos , temos:
Portanto:
Então, para todo , .

Resposta

A série converge para 1.

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B 19,9 20,2 19,5 20,4 19,4 20,0
C 20,6 20,5 20,7 20,6 20,8 21,0
D 20,1 19,9 20,2 19,9 21,1 20,0
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