Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial aqui, que basicamente quer encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e também atende à condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Vamos precisar identificar o fator integrante e seguir os passos para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar:
Essa é uma equação diferencial linear da forma
.
Passo 3
No método do fator integrante, a gente calcula um fator
que vai multiplicar toda a equação para tornar o lado esquerdo uma derivada de um produto. Esse fator é dado por:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Fazendo uma substituição:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, resolve para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do problema é:
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