Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial aqui, que basicamente quer encontrar a função que satisfaz essa equação diferencial e também atende à condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Vamos precisar identificar o fator integrante e seguir os passos para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar:
Essa é uma equação diferencial linear da forma .

Passo 3

No método do fator integrante, a gente calcula um fator que vai multiplicar toda a equação para tornar o lado esquerdo uma derivada de um produto. Esse fator é dado por:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Agora, para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Vamos resolver a integral . Fazendo uma substituição:
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, resolve para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução do problema é:

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