A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante
t. Após três horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?
t. Após três horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos uma população de bactérias que cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante
. Isso significa que o crescimento segue uma função exponencial. Precisamos descobrir quantas bactérias havia inicialmente, sabendo que após 3 horas havia 400 bactérias e após 9 horas havia 2500 bactérias.
Passo 2
Como a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias, podemos modelar a população
com a equação diferencial:
Onde
é a constante de proporcionalidade. A solução dessa equação é uma função exponencial:
Aqui,
é o número inicial de bactérias que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos usar as informações fornecidas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
- Após 3 horas (
), a população é 400 bactérias:
- Após 9 horas (
), a população é 2500 bactérias:
Passo 4
Para eliminar
e encontrar
, dividimos a segunda equação pela primeira:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Calculando
:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, voltamos à primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Calculando
:
Resposta
O número inicial de bactérias era de aproximadamente 160 bactérias.
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, quaisquer, temos
onde
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onde