A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante
t. Após três horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos uma população de bactérias que cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante . Isso significa que o crescimento segue uma função exponencial. Precisamos descobrir quantas bactérias havia inicialmente, sabendo que após 3 horas havia 400 bactérias e após 9 horas havia 2500 bactérias.

Passo 2

Como a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias, podemos modelar a população com a equação diferencial:
Onde é a constante de proporcionalidade. A solução dessa equação é uma função exponencial:
Aqui, é o número inicial de bactérias que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos usar as informações fornecidas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
  1. Após 3 horas ( ), a população é 400 bactérias:
  1. Após 9 horas ( ), a população é 2500 bactérias:

Passo 4

Para eliminar e encontrar , dividimos a segunda equação pela primeira:
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Calculando :

Passo 6

Com o valor de encontrado, voltamos à primeira equação para encontrar :

Passo 7

Calculando :

Resposta

O número inicial de bactérias era de aproximadamente 160 bactérias.

Exercícios relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .
Utilize indução matemática para justificar o binômio de Newton: Dados , quaisquer, temos
onde . Além disso, utilize o binômio de Newton para estudar a convergência ou divergência da série onde