Determine uma região no plano para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto na região. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma região no plano onde a equação diferencial tem uma solução que passa por um ponto específico . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e condições de existência e unicidade de soluções, como o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos: . Sabemos que para garantir que exista uma solução única que passa por , a função do lado direito da equação, neste caso , precisa ser contínua e satisfazer certas condições de crescimento.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função . Essa função está definida sempre que o argumento dentro da raiz quadrada, ou seja, , for maior ou igual a zero. Isso significa que tanto quanto precisam ser positivos ou negativos juntos, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real.

Passo 4

Além disso, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, a função precisa ser contínua e ter derivadas contínuas em relação a e na região considerada. A derivada de em relação a é , que também está definida quando .

Passo 5

Portanto, as condições para a existência de uma solução única são satisfeitas quando e . Se ou forem negativos, a função pode não estar definida ou não ser contínua, o que compromete a existência da solução.

Resposta

A região no plano onde a equação diferencial possui uma solução passando pelo ponto é onde e .

Exercícios relacionados

Suponha que o campo de forças mova uma partícula da origem ao ponto .
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto ;
Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(b) Calcule .
Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função .