Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma região no plano
onde a equação diferencial
tem uma solução que passa por um ponto específico
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e condições de existência e unicidade de soluções, como o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
. Sabemos que para garantir que exista uma solução única que passa por
, a função do lado direito da equação, neste caso
, precisa ser contínua e satisfazer certas condições de crescimento.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
. Essa função está definida sempre que o argumento dentro da raiz quadrada, ou seja,
, for maior ou igual a zero. Isso significa que tanto
quanto
precisam ser positivos ou negativos juntos, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real.
Passo 4
Além disso, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, a função
precisa ser contínua e ter derivadas contínuas em relação a
e
na região considerada. A derivada de
em relação a
é
, que também está definida quando
.
Passo 5
Portanto, as condições para a existência de uma solução única são satisfeitas quando
e
. Se
ou
forem negativos, a função
pode não estar definida ou não ser contínua, o que compromete a existência da solução.
Resposta
A região no plano
onde a equação diferencial
possui uma solução passando pelo ponto
é onde
e
.
Exercícios relacionados
Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto ;
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(b) Calcule .
(b) Calcule
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função .
(d) Determine o conjunto imagem da função