Suponha que o campo de forças F(x, y) = (y^2 + 2x + 4) * i + (2xy + 4y - 5) * j mova uma partícula da origem ao ponto 1,1.
Mostre que F é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo de forças é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais em cálculo vetorial. Para resolver, precisamos verificar uma condição que determina se um campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Isso significa que o trabalho realizado pelo campo é independente do caminho seguido.

Passo 3

Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo é calcular a “rotacional” do campo. Em duas dimensões, isso significa verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Matemáticamente, verificamos se:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo :
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, temos que:
Isso satisfaz a condição para que o campo seja conservativo.

Resposta

O campo de forças é conservativo porque satisfaz a condição .

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