Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
.
Mostre que
é conservativo.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo de forças
é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais em cálculo vetorial. Para resolver, precisamos verificar uma condição que determina se um campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo é independente do caminho seguido.
Passo 3
Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo é calcular a “rotacional” do campo. Em duas dimensões, isso significa verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Matemáticamente, verificamos se:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo
:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, temos que:
Isso satisfaz a condição para que o campo
seja conservativo.
Resposta
O campo de forças
é conservativo porque satisfaz a condição
.