Seja f: R -> R a função quadrática dada por f(x) = a x^2 + b x + c, onde a != 0. Sabendo-se que x1 = -1 e x2 = 5 são as raízes de f, e que f(1) = -8, faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função f.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática onde . Sabemos que as raízes dessa função são e , e que . O que precisamos descobrir é o conjunto imagem dessa função, ou seja, todos os valores que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática é uma parábola. O conjunto imagem depende da direção da parábola (para cima ou para baixo) e do seu vértice. Para isso, precisamos encontrar os coeficientes , e da função.

Passo 3

Sabemos que as raízes da função são e . Podemos usar a forma fatorada da função quadrática:
Agora, temos .

Passo 4

Sabemos também que . Vamos substituir na função para encontrar o valor de :
Então, a função fica .

Passo 5

Vamos expandir a função para a forma padrão:
Agora, temos .

Passo 6

Para encontrar o conjunto imagem, precisamos identificar o valor máximo ou mínimo da função. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima e possui um mínimo.

Passo 7

Vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o mínimo da função. A fórmula do vértice é:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o mínimo da função é .

Passo 8

Como a parábola abre para cima e o mínimo é , o conjunto imagem é todos os valores reais maiores ou iguais a .

Resposta

O conjunto imagem da função é .

Exercícios relacionados