Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função
.
(d) Determine o conjunto imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática
onde
. Sabemos que as raízes dessa função são
e
, e que
. O que precisamos descobrir é o conjunto imagem dessa função, ou seja, todos os valores que
pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática é uma parábola. O conjunto imagem depende da direção da parábola (para cima ou para baixo) e do seu vértice. Para isso, precisamos encontrar os coeficientes
,
e
da função.
Passo 3
Sabemos que as raízes da função são
e
. Podemos usar a forma fatorada da função quadrática:
Agora, temos
.
Passo 4
Sabemos também que
. Vamos substituir
na função para encontrar o valor de
:
Então, a função fica
.
Passo 5
Vamos expandir a função para a forma padrão:
Agora, temos
.
Passo 6
Para encontrar o conjunto imagem, precisamos identificar o valor máximo ou mínimo da função. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima e possui um mínimo.
Passo 7
Vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o mínimo da função. A fórmula do vértice
é:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o mínimo da função é
.
Passo 8
Como a parábola abre para cima e o mínimo é
, o conjunto imagem é todos os valores reais maiores ou iguais a
.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.