Suponha que o campo de forças F(x, y) = (y^2 + 2x + 4) * i + (2xy + 4y - 5) * j mova uma partícula da origem ao ponto 1,1.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto 1,1;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de forças definido por que atua sobre uma partícula movendo-a da origem (0,0) até o ponto 1,1. O objetivo é calcular o trabalho realizado por esse campo de forças ao longo de um caminho específico, que neste caso é o segmento de reta que liga a origem ao ponto 1,1. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de trabalho como integral de linha.

Passo 2

Para calcular o trabalho, usamos a fórmula:
Aqui, C representa o caminho percorrido pela partícula, que é o segmento de reta da origem ao ponto 1,1. A integral de linha calcula o trabalho como o produto escalar do campo de forças F com o deslocamento infinitesimal ao longo do caminho.

Passo 3

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho C. Como estamos lidando com um segmento de reta de (0,0) a 1,1, podemos usar o parâmetro t, onde t varia de 0 a 1, e as coordenadas são dadas por:
Dessa forma, o vetor posição vec(r)(t) é:

Passo 4

Agora, calculamos o diferencial deslocamento em termos de t:

Passo 5

Substituímos x(t) e y(t) na expressão do campo de forças F(x, y):
Simplificando:

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho total:
Integrando termo a termo:

Resposta

O trabalho realizado ao longo do segmento de reta da origem ao ponto 1,1 é igual a 3 unidades de trabalho.

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