Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto
;
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de forças definido por
que atua sobre uma partícula movendo-a da origem
até o ponto
. O objetivo é calcular o trabalho realizado por esse campo de forças ao longo de um caminho específico, que neste caso é o segmento de reta que liga a origem ao ponto
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de trabalho como integral de linha.
Passo 2
Para calcular o trabalho, usamos a fórmula:
Aqui,
representa o caminho percorrido pela partícula, que é o segmento de reta da origem ao ponto
. A integral de linha calcula o trabalho como o produto escalar do campo de forças
com o deslocamento infinitesimal
ao longo do caminho.
Passo 3
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho
. Como estamos lidando com um segmento de reta de
a
, podemos usar o parâmetro
, onde
varia de 0 a 1, e as coordenadas são dadas por:
Dessa forma, o vetor posição
é:
Passo 4
Agora, calculamos o diferencial deslocamento
em termos de
:
Passo 5
Substituímos
e
na expressão do campo de forças
:
Simplificando:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho total:
Integrando termo a termo:
Resposta
O trabalho realizado ao longo do segmento de reta da origem ao ponto
é igual a 3 unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Seja a equação diferencial
e suponha que
é uma solução tal que
. Mostre que
, para todo
.
Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
;
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(b) Calcule .
(b) Calcule