Sejam u, vrang<= o produto interno euclidiano em R^2 gerado por [ll2 & 1 1 & 1] e u=(2,1), v=(-1,1), w=(0,-1). Calcule as expressues dadas.
lang<=u, vrang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre produto interno euclidiano em que é definido por uma matriz específica. Precisamos calcular o produto interno entre os vetores e . Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno definido por uma matriz e aplicar essa definição aos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um produto interno definido por uma matriz. Geralmente, no espaço euclidiano padrão, o produto interno entre dois vetores lang<= x, y rang<= = x^T y = x1 y1 + x2 y2 e lang<= x, y rang<=A = x^T A y é dado por:
A = 2 & 1 1 & 1
Mas nesse caso, o produto interno está sendo definido por uma matriz , então a fórmula muda para:
Onde é a matriz que define o produto interno. No nosso exercício, é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para calcular u = 2 1 , v = -1 1 . Primeiro, vamos escrever os vetores e como matrizes coluna:

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar u^T A = 2 & 1 2 & 1 1 & 1 = (2 times 2) + (1 times 1) & (2 times 1) + (1 times 1) = 5 & 3 (a transposta de ) pela matriz :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar o resultado acima pelo vetor lang<= u, v rang<=A = 5 & 3 -1 1 = (5 times -1) + (3 times 1) = -5 + 3 = -2 :

Resposta

O produto interno é igual a .

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