Sejam o produto interno euclidiano em gerado por . Calcule as expressues dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre produto interno euclidiano em que é definido por uma matriz específica. Precisamos calcular o produto interno entre os vetores e . Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno definido por uma matriz e aplicar essa definição aos vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um produto interno definido por uma matriz. Geralmente, no espaço euclidiano padrão, o produto interno entre dois vetores e é dado por:
Mas nesse caso, o produto interno está sendo definido por uma matriz , então a fórmula muda para:
Onde é a matriz que define o produto interno. No nosso exercício, é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para calcular . Primeiro, vamos escrever os vetores e como matrizes coluna:
Passo 4
Em seguida, vamos multiplicar (a transposta de ) pela matriz :
Passo 5
Agora, vamos multiplicar o resultado acima pelo vetor :