Sejam o produto interno euclidiano em gerado por . Calcule as expressues dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre produto interno euclidiano em que é definido por uma matriz específica. Precisamos calcular o produto interno entre os vetores e . Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno definido por uma matriz e aplicar essa definição aos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um produto interno definido por uma matriz. Geralmente, no espaço euclidiano padrão, o produto interno entre dois vetores e é dado por:
Mas nesse caso, o produto interno está sendo definido por uma matriz , então a fórmula muda para:
Onde é a matriz que define o produto interno. No nosso exercício, é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para calcular . Primeiro, vamos escrever os vetores e como matrizes coluna:

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar (a transposta de ) pela matriz :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar o resultado acima pelo vetor :

Resposta

O produto interno é igual a .

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Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis; caso afirmativo, calcule suas inversas.
Determine os vértices do triângulo cujos vértices estão contidos nas interseções entre as retas , e . R.: .
Determine as regiões do plano:
(Matrizes singulares.)
(Determinar os valores do parâmetro para os quais a matriz é singular).