Utilizando a definição, calcule a transformada de Laplace da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função
definida por partes:
Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por
de 0 até o infinito. Vamos precisar dividir a integral nos intervalos onde a função
é definida de forma diferente.
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição da transformada de Laplace:
Como
muda de para
em
, vamos dividir a integral em duas partes:
- De 0 a
, onde - De
a , onde
Então, a transformada fica:
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula da transformada de Laplace para :
No nosso caso,
, então:
Mas como estamos integrando de 0 a
, aplicamos os limites:
Calculando nos limites:
Sabemos que , ,
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Usamos a fórmula da transformada de Laplace para
:
Aqui,
, então:
Como a integral vai de
até
, aplicamos a transformação de Heaviside para funções que começam em um certo ponto. A função
a partir de
pode ser escrita como:
A transformada de Laplace fica:
Resposta
Somando as duas partes, a transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equações.
(a) .
(a)
Determine uma relação entre
e
para que
seja um campo conservativo.
Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(b)
(b)
Utilize o Teorema de Green para determinar a área limitada pela curva
, com
.