Utilizando a definição, calcule a transformada de Laplace da função
f(t) = { sen(t), 0 <= t < 2 pi; cos(t), t >= 2 pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função definida por partes:
Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito. Vamos precisar dividir a integral nos intervalos onde a função é definida de forma diferente.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição da transformada de Laplace:
Como muda de para em , vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De 0 a , onde
  2. De a , onde
Então, a transformada fica:

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula da transformada de Laplace para :
No nosso caso, , então:
Mas como estamos integrando de 0 a , aplicamos os limites:
Calculando nos limites:
Sabemos que , , e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
Usamos a fórmula da transformada de Laplace para :
Aqui, , então:
Como a integral vai de até , aplicamos a transformação de Heaviside para funções que começam em um certo ponto. A função a partir de pode ser escrita como:
A transformada de Laplace fica:

Resposta

Somando as duas partes, a transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Se F=nabla f, onde f(x, y)=sen(2 x-y). Encontre curvas C1 e C2 que satisfaçam as equações.
(a) integralC1 F cdot d r=0.
Determine uma relação entre a, b e c para que F = (a y^2 + 2 c z x) i + y (b c + c z) j + (a y^2 + c x^2) k seja um campo conservativo.
Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(b) lim x 1^- |x-1|x-1
Utilize o Teorema de Green para determinar a área limitada pela curva (b x)² + (a y)² = (a b)², com a * b > 0.