Em se define a seguinte relação de Equivalência mediante
Determinar as classes de equivalência, o conjunto quociente de e a partição associada do conjunto .

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício sobre relações de equivalência em . A gente tem uma relação que diz que dois pares e são equivalentes se . Para resolver, vamos precisar entender o que são classes de equivalência, conjunto quociente e partição de um conjunto usando essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre classes de equivalência. Basicamente, uma classe de equivalência reúne todos os elementos que são relacionados entre si. No nosso caso, dois pares estão na mesma classe se tiverem o mesmo valor de . Então, para cada valor fixo de , a classe de equivalência será todos os pares com esse específico. Isso significa que cada classe é uma linha horizontal no plano .

Passo 3

Agora, vamos para o conjunto quociente . Esse conjunto é formado por todas as classes de equivalência. Como cada classe é identificada pelo valor de , o conjunto quociente acaba sendo basicamente o conjunto de todos os possíveis valores de , ou seja, .

Passo 4

Por último, temos a partição associada da pela relação . Uma partição divide o conjunto em partes disjuntas que cobrem todo o conjunto. Nesse caso, a partição é feita pelas linhas horizontais onde cada linha corresponde a um valor fixo de . Assim, cada ponto em pertence exatamente a uma dessas linhas.

Resposta

As classes de equivalência são todas as linhas horizontais para cada . O conjunto quociente é igual a . E a partição associada divide em todas as linhas horizontais, cada uma com um fixo.

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