Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O elipsoide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente transformar a representação paramétrica de um elipsoide em sua forma cartesiana. A gente vai usar conhecimentos de geometria analítica e trigonometria pra resolver isso. Precisamos das fórmulas básicas de seno, cosseno e da equação geral do elipsoide.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas que foram dadas:
Aqui,
e
são os parâmetros.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros
e
para achar uma relação só entre
,
e
. Vamos começar isolando
e das equações de
e
.
Passo 4
Dividindo a equação de
por
e a de
por
, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica . Somando os quadrados das duas equações:
Então:
Passo 6
Da equação de
, temos:
E como , podemos substituir:
Passo 7
Substituindo
na equação que encontramos no Passo 5:
Passo 8
Finalmente, reorganizando os termos, chegamos à equação cartesiana do elipsoide:
Resposta
A representação cartesiana do elipsoide é
.
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, com
.
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.
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.
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, com
.