Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O elipsoide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente transformar a representação paramétrica de um elipsoide em sua forma cartesiana. A gente vai usar conhecimentos de geometria analítica e trigonometria pra resolver isso. Precisamos das fórmulas básicas de seno, cosseno e da equação geral do elipsoide.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas que foram dadas:
Aqui, e são os parâmetros.

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para achar uma relação só entre , e . Vamos começar isolando e das equações de e .

Passo 4

Dividindo a equação de por e a de por , temos:

Passo 5

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica . Somando os quadrados das duas equações:
Então:

Passo 6

Da equação de , temos:
E como , podemos substituir:

Passo 7

Substituindo na equação que encontramos no Passo 5:

Passo 8

Finalmente, reorganizando os termos, chegamos à equação cartesiana do elipsoide:

Resposta

A representação cartesiana do elipsoide é .

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