Determine uma representação paramétrica para a superfície de revolução de um toro gerado pelo círculo , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para encontrarmos uma representação paramétrica para a superfície de revolução de um toro, que é gerado por um círculo definido por no plano , onde . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e parametrizeção de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um toro. Um toro é como uma rosquinha tridimensional, e ele é gerado pela rotação de um círculo ao redor de um eixo. No nosso caso, o círculo está no plano , com centro em e raio .

Passo 3

Para parametrizar o toro, vamos usar dois ângulos: um para a rotação do círculo em torno do eixo e outro para percorrer o próprio círculo. Vamos chamar o ângulo de rotação de e o ângulo que percorre o círculo de .

Passo 4

Primeiro, parametrizamos o círculo que está sendo rotacionado. No plano , o círculo pode ser descrito por:
Aqui, varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 5

Agora, vamos rotacionar esse círculo ao redor do eixo usando o ângulo . Para isso, usamos as fórmulas de rotação no espaço tridimensional. Após a rotação, as coordenadas e se transformam da seguinte forma:
A coordenada permanece a mesma, então:

Passo 6

Juntando tudo, a representação paramétrica do toro fica:
onde e variam de a .

Resposta

A representação paramétrica para a superfície de revolução do toro é:
com .

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