Determine uma representação paramétrica para a superfície de revolução de um toro gerado pelo círculo , com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para encontrarmos uma representação paramétrica para a superfície de revolução de um toro, que é gerado por um círculo definido por no plano , onde . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e parametrizeção de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um toro. Um toro é como uma rosquinha tridimensional, e ele é gerado pela rotação de um círculo ao redor de um eixo. No nosso caso, o círculo está no plano , com centro em e raio .
Passo 3
Para parametrizar o toro, vamos usar dois ângulos: um para a rotação do círculo em torno do eixo e outro para percorrer o próprio círculo. Vamos chamar o ângulo de rotação de e o ângulo que percorre o círculo de .
Passo 4
Primeiro, parametrizamos o círculo que está sendo rotacionado. No plano , o círculo pode ser descrito por:
Aqui, varia de a para percorrer todo o círculo.
Passo 5
Agora, vamos rotacionar esse círculo ao redor do eixo usando o ângulo . Para isso, usamos as fórmulas de rotação no espaço tridimensional. Após a rotação, as coordenadas e se transformam da seguinte forma:
A coordenada permanece a mesma, então:
Passo 6
Juntando tudo, a representação paramétrica do toro fica:
onde e variam de a .
Resposta
A representação paramétrica para a superfície de revolução do toro é: