Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O hiperboloide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar a representação paramétrica de um hiperboloide em sua forma cartesiana. Basicamente, temos uma superfície descrita por funções de parâmetros e , e queremos expressá-la usando as coordenadas , e . Para isso, vamos precisar entender as fórmulas paramétricas que nos foram dadas e como eliminar os parâmetros para chegar à equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da superfície. A representação dada é:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que e são funções hiperbólicas que satisfazem a identidade:
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para obter uma equação que envolva apenas , e .
Primeiro, observamos que e estão relacionados com e . Podemos usar a identidade trigonométrica para combinar e :
Então:
Além disso, temos , que podemos expressar como:
Usando a identidade hiperbólica mencionada antes:

Resposta

A representação cartesiana do hiperboloide é:

Exercícios relacionados

Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O elipsoide .
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: cilindro de revolução , com .
Determine uma representação paramétrica para a superfície de revolução de um toro gerado pelo círculo , com .
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .