Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O hiperboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar a representação paramétrica de um hiperboloide em sua forma cartesiana. Basicamente, temos uma superfície descrita por funções de parâmetros
e
, e queremos expressá-la usando as coordenadas
,
e
. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas paramétricas que nos foram dadas e como eliminar os parâmetros para chegar à equação cartesiana.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da superfície. A representação dada é:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
e
são funções hiperbólicas que satisfazem a identidade:
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros
e
para obter uma equação que envolva apenas
,
e
.
Primeiro, observamos que
e
estão relacionados com
e
. Podemos usar a identidade trigonométrica
para combinar
e
:
Então:
Além disso, temos
, que podemos expressar como:
Usando a identidade hiperbólica mencionada antes:
Resposta
A representação cartesiana do hiperboloide é:
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Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O elipsoide
.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
cilindro de revolução
, com
.
Determine uma representação paramétrica para a superfície de revolução
de um toro gerado pelo círculo
, com
.
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado.
, em
.