Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função usando uma integral de Fourier. Isso faz parte da análise de Fourier, que ajuda a decompor funções em ondas senoidais. Para isso, vamos usar a fórmula da transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Fourier para uma função :
Aqui, é a transformada de Fourier de , e é a variável de frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Olhando o enunciado, temos:
Isso significa que vale 4 somente no intervalo de a e é zero fora desse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos simplificar a integral da transformada de Fourier, já que fora de :
Passo 5
Vamos resolver essa integral. A integral de em relação a é:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Podemos simplificar mais esse resultado:
Passo 7
Usando a identidade de Euler, , podemos reescrever :
Resposta
A representação da função por uma integral de Fourier é: