Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função usando uma integral de Fourier. Isso faz parte da análise de Fourier, que ajuda a decompor funções em ondas senoidais. Para isso, vamos usar a fórmula da transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Fourier para uma função :
Aqui, é a transformada de Fourier de , e é a variável de frequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Olhando o enunciado, temos:
Isso significa que vale 4 somente no intervalo de a e é zero fora desse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos simplificar a integral da transformada de Fourier, já que fora de :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de em relação a é:
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Podemos simplificar mais esse resultado:

Passo 7

Usando a identidade de Euler, , podemos reescrever :

Resposta

A representação da função por uma integral de Fourier é:

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Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a)
Seja .
b) Use a série determinada no item a) para calcular .
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
c)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
d)