Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a representação da função usando uma integral de Fourier. Isso faz parte do estudo de Transformadas de Fourier, que ajudam a transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e calcular essa integral para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função em uma função , que nos mostra como diferentes frequências estão presentes na função original. A fórmula da Transformada de Fourier que vamos usar é:
Depois que encontramos , podemos escrever a função original como uma integral de Fourier:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função do exercício:
Como é zero para e , a integral da Transformada de Fourier fica limitada entre 0 e :
Passo 4
Vamos calcular essa integral. Primeiro, lembramos que . Então:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Avaliada de 0 a :
Segunda parte:
Avaliada de 0 a :
Passo 6
Agora, juntando as duas partes:
Passo 7
Finalmente, substituímos na integral de Fourier para obter a representação da função :
Resposta
A representação da função por uma integral de Fourier é: