Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente em três intervalos:
A pergunta é para determinar a representação dessa função usando uma integral de Fourier. Ou seja, queremos expressar como uma integral que envolve funções trigonométricas (como seno e cosseno) ou exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela permite transformar uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier direta de uma função é:
E a função original pode ser recuperada pela Transformada de Fourier inversa:
Nesse caso, queremos expressar usando essa integral inversa.
Passo 3
Vamos calcular a Transformada de Fourier para a nossa função . Como é zero fora de , a integral fica mais simples:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 4
Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Primeiro termo:
Segunda integral:
Passo 6
Juntando os dois resultados:
Podemos simplificar colocando :
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da Transformada de Fourier inversa para obter a representação de :
Essa é a representação da função por uma integral de Fourier.
Resposta
A representação da função por uma integral de Fourier é: