Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para representar a função usando uma integral de Fourier. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Fourier, onde a gente transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a Transformada de Fourier de uma função . Ela é dada por:
Essa integral transforma a função em uma função que nos mostra como as diferentes frequências estão presentes na função original.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que temos:
Essa função é zero fora do intervalo . Então, a integral da Transformada de Fourier só precisa ser calculada nesse intervalo.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes onde a função não é zero:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Integrando, temos:
Passo 6
Segunda integral:
Integrando, temos:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes:
Vamos simplificar:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Passo 9
Dividindo os termos:
Podemos reescrever como , então:
Passo 10
Finalmente, expressamos a Transformada de Fourier da função :
Essa é a representação da função por uma integral de Fourier.