Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para representar a função usando uma integral de Fourier. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Fourier, onde a gente transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a Transformada de Fourier de uma função . Ela é dada por:
Essa integral transforma a função em uma função que nos mostra como as diferentes frequências estão presentes na função original.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que temos:
Essa função é zero fora do intervalo . Então, a integral da Transformada de Fourier só precisa ser calculada nesse intervalo.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes onde a função não é zero:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Integrando, temos:

Passo 6

Segunda integral:
Integrando, temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
Vamos simplificar:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Substituindo na expressão de :

Passo 9

Dividindo os termos:
Podemos reescrever como , então:

Passo 10

Finalmente, expressamos a Transformada de Fourier da função :
Essa é a representação da função por uma integral de Fourier.

Resposta

A Transformada de Fourier da função é dada por:

Exercícios relacionados

Seja .
b) Use a série determinada no item a) para calcular .
Seja .
a) Expanda em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em ?
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
b)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
c)