Seja f(x)=2 x,-pi.
b) Use a série determinada no item a) para calcular sumn^infty 1n^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série de Fourier determinada no item a) para calcular a soma da série . Então, estamos lidando com séries de Fourier, que é um conteúdo de Análise de Fourier na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a série de Fourier de uma função pode nos ajudar a encontrar essa soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função dada é no intervalo e é periódica com período , ou seja, . Queremos encontrar a série de Fourier dessa função.

Passo 3

A série de Fourier para uma função periódica que é ímpar (como f(x) = sumn=1^infty bn sin(nx) ) pode ser expressa apenas com termos de seno. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
bn = 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx
onde os coeficientes são dados por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes bn = 2pi integral0^pi 2x sin(nx) , dx = 4pi integral0^pi x sin(nx) , dx :
integral x sin(nx) , dx = -xn cos(nx) + 1n integral cos(nx) , dx = -xn cos(nx) + 1n^2 sin(nx) + C
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja integral0^pi x sin(nx) , dx = -pin cos(npi) + 1n^2 sin(npi) - (0 + 0) = -pin (-1)^n e bn = 4pi (-pin (-1)^n) = 4pi cdot pin (-1)^n+1 = 4 (-1)^n+1n . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliando de 0 a :
porque e .
Então:

Passo 5

Portanto, a série de Fourier de f(x) = sumn=1^infty 4 (-1)^n+1n sin(nx) é:

Passo 6

Agora, para calcular , vamos utilizar uma técnica envolvendo a série de Fourier. Sabemos que séries de Fourier podem ser usadas para expressar funções e relacionar coeficientes da série com somas infinitas.

Passo 7

Uma abordagem comum é elevar a série de Fourier ao quadrado e integrar, mas neste caso, uma forma mais direta é avaliar a série em um ponto específico onde temos uma relação conhecida. Vamos avaliar a série em f(pi) = sumn=1^infty 4 (-1)^n+1n sin(npi) = 0 .
No entanto, observando a definição de , vemos que , mas usando a série de Fourier:
Isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos precisar de uma outra estratégia.

Passo 8

Uma técnica eficaz é considerar a energia da função, integrando 1pi integral-pi^pi f(x)^2 , dx = sumn=1^infty bn^2 cdot 12 ao longo do período e relacionando com os coeficientes da série de Fourier. Vamos fazer isso:
1pi integral-pi^pi (2x)^2 , dx = 1pi integral-pi^pi 4x^2 , dx = 4pi cdot 2pi^33 = 8pi^23
Substituindo sumn=1^infty (4 (-1)^n+1n)^2 cdot 12 = sumn=1^infty 16n^2 cdot 12 = 8 sumn=1^infty 1n^2 , temos:
8pi^23 = 8 sumn=1^infty 1n^2
Do outro lado:
Igualando os dois lados:

Passo 9

Agora, resolvendo para a soma:
sumn=1^infty 1n^2 = 8pi^23 div 8 = pi^23 cdot 2 = pi^26

Resposta

sumn=1^infty 1n^2 = pi^26

Exercícios relacionados