Seja .
b) Use a série determinada no item a) para calcular .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série de Fourier determinada no item a) para calcular a soma da série . Então, estamos lidando com séries de Fourier, que é um conteúdo de Análise de Fourier na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a série de Fourier de uma função pode nos ajudar a encontrar essa soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função dada é no intervalo e é periódica com período , ou seja, . Queremos encontrar a série de Fourier dessa função.
Passo 3
A série de Fourier para uma função periódica que é ímpar (como ) pode ser expressa apenas com termos de seno. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
onde os coeficientes são dados por:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliando de 0 a :
porque e .
Então:
Passo 5
Portanto, a série de Fourier de é:
Passo 6
Agora, para calcular , vamos utilizar uma técnica envolvendo a série de Fourier. Sabemos que séries de Fourier podem ser usadas para expressar funções e relacionar coeficientes da série com somas infinitas.
Passo 7
Uma abordagem comum é elevar a série de Fourier ao quadrado e integrar, mas neste caso, uma forma mais direta é avaliar a série em um ponto específico onde temos uma relação conhecida. Vamos avaliar a série em .
No entanto, observando a definição de , vemos que , mas usando a série de Fourier:
Isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos precisar de uma outra estratégia.
Passo 8
Uma técnica eficaz é considerar a energia da função, integrando ao longo do período e relacionando com os coeficientes da série de Fourier. Vamos fazer isso: