Seja
.
b) Use a série determinada no item a) para calcular
.
b) Use a série determinada no item a) para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série de Fourier determinada no item a) para calcular a soma da série
. Então, estamos lidando com séries de Fourier, que é um conteúdo de Análise de Fourier na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a série de Fourier de uma função pode nos ajudar a encontrar essa soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função dada é
no intervalo
e é periódica com período
, ou seja,
. Queremos encontrar a série de Fourier dessa função.
Passo 3
A série de Fourier para uma função periódica que é ímpar (como
) pode ser expressa apenas com termos de seno. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
onde os coeficientes
são dados por:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliando de 0 a
:
porque
e
.
Então:
Passo 5
Portanto, a série de Fourier de
é:
Passo 6
Agora, para calcular
, vamos utilizar uma técnica envolvendo a série de Fourier. Sabemos que séries de Fourier podem ser usadas para expressar funções e relacionar coeficientes da série com somas infinitas.
Passo 7
Uma abordagem comum é elevar a série de Fourier ao quadrado e integrar, mas neste caso, uma forma mais direta é avaliar a série em um ponto específico onde temos uma relação conhecida. Vamos avaliar a série em
.
No entanto, observando a definição de
, vemos que
, mas usando a série de Fourier:
Isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos precisar de uma outra estratégia.
Passo 8
Uma técnica eficaz é considerar a energia da função, integrando
ao longo do período e relacionando com os coeficientes da série de Fourier. Vamos fazer isso:
Substituindo
, temos:
Do outro lado:
Igualando os dois lados:
Passo 9
Agora, resolvendo para a soma: